პირველი და მეორე რიგის შექცეული სტოქასტური დიფერენციალური განტოლებები და მათი გამოყენება სტოქასტურ მართვასა და ფინანსურ მათემატიკაში
2012 წლის ფუნდამენტური კვლევებისათვის სახელმწიფო სამეცნიერო საგრანტო კონკურსში გაიმარჯვა პროექტმა N 31/68: პირველი და მეორე რიგის შექცეული სტოქასტური დიფერენციალური განტოლებები და მათი გამოყენება სტოქასტურ მართვასა და ფინანსურ მათემატიკაში, თბილისის სახელმწიფო უნივერსიტეტის ა. რაზმაძის მათემატიკის ინსტიტუტის თანამშრომლის, მიხეილ მანიას ხელმძღვანელობით. პროექტის ძირითადი მიზანი იყო ოპტიმალური ინვესტირების და ჰეჯირების შეცდომის მინიმიზაციის ამოცანების შესწავლა. ეს ამოცანები თანამედროვე ფინანსური მათემატიკის საბაზისო ოპტიმიზაციის ამოცანებს წარმოადგენს და მათი ამოხსნა მჭიდროდ არის დაკავშირებული ფინანსური ვალდებულებების ფასდადების და მათთან დაკავირეული რისკის შემცირების საკითხებთან. პრაქტიკული გამოყენებების თვალსაზრისით, არსებითია ამ ამოცანების გადაწყვეტა შეზღუდული ინფორმაციისა და მოდელის განუზღვრელობის პირობებში. პროექტზე მუშაობის დროს ყურადღება იქნა გამახვილებული ორ მნიშვნელოვან შემთხვევაზე:
1) როდესაც დაკვირვებადი ნაკადი არ შეიცავს სრულ ინფორმაციას საბაზისო აქტივების ფასებზე და
2) როდესაც საბაზისო აქტივების საშუალო ამონაგებისა და ვოლატილობის მხოლოდ დასაშვები მნიშვნელობებია ცნობილი.
აღნიშნული საკითხების კვლევაში მნიშვნელოვან როლს ასრულებს შექცეულ სტოქასტურ დიფერენციალურ განტოლებათა თეორია და პროექტის ერთ-ერთ მიზანს ამ თეორიის განვითარებაც წარმოადგენდა.
შექცეული სემიმარტინგალური განტოლებების ამონახსნის თვისებების გამოყენებით მიღებულია BMO- მარტინგალების ნორმების ახალი შეფასებები. ეს შეფასებები გამოყენებულია სარგებლიანობის მაქსიმიზირების ამოცანის ფასის ფუნქციის თვისებების შესასწავლად.
შესწავლილია სარგებლიანობის მაქსიმიზირებისა და ჰეჯირების ამოცანის შესაბამისი ფასის ფუნქციის ანალიზური თვისებები. ნაჩვენებია, რომ ფასის ფუნქცია ორჯერ უწყვეტად დიფერენცირებადია და ოპტიმალური კაპიტალის პროცესი ზრდადია და დიფერენცირებადი საწყისი კაპიტალის მიმართ. ფასის პროცესის ამ თვისებებზე დაყრდნობით დამტკიცებულია, რომ საშუალო სარგებლიანობის მაქსიმიზაციის შესაბამისი ფასის პროცესი ბელმანის სტოქასტური დიფერენციალური განტოლების ერთადერთ ამონახსნს წარმოადგენს. ამ განტოლების ამონახსნის საშუალებით აგებულია ოპტიმალური სტრატეგიები.
პროექტის ერთ-ერთ ძირითად ამოცანას ამ პრობლემების სტატისტიკური და გამოთვლითი ასპექტების შესწავლაც წარმოადგენდა. მნიშვნელოვანი ყურადღება დაეთმო რობასტული და რეკურსიული შეფასებების აგებას ზოგადი სემიმარტინგალური მოდელებისათვის.
შესწავლილია სემიმარტინგალურ სტატისტიკურ მოდელებთან დაკავშირებული პარამეტრის რეკურსიული შეფასებების პროცედურები. რობინს-მონროს ტიპის სტოქასტურ დიფერენციალური განტოლების ამონახსნის ყოფაქცევაზე დაყრდნობით გამოყვანილია უცნობი პარამეტრის რობასტული და რეკურსიული შეფასებების ასიმპტოტური თვისებები.
განხილულია ევროპული ოფციონის ჰეჯირების ამოცანა ფინანსური ბაზრის ბლეკ-შოულსის მოდელში. როგორც ცნობილია, ჰეჯირების პრობლემის გადაწყვეტის ეფექტური მეთოდია კლარკ-ოკონეს სტოქასტური ინტეგრალური წარმოდგენის ფორმულა, მაგრამ განსახილველ შემთხვევაში აღნიშნული ფორმულის გამოყენება ვერ ხერხდება, ვინაიდან ჩვენ მიერ განხილული გადასახადის ფუნქცია არა არის დიფერენცირებადი მალივენის აზრით. შემოთავაზებულია ჰეჯირების ამოცანის გადაჭრის არატრადიციული მეთოდი, რისთვისაც გამოყენებულია სემიმარტინგალის ლოკალური დროის ცნება და მისი კავშირი ჭვრეტად კვადრატულ მახასიათებელთან.
მიღებულია ბერნშტეინის ფუნქციის ბინომური კოეფიციენტების ზედა საზღვრის შეფასებები. ეს შეფასებები გამოყენებულია განაწილების კვანტილების სტოქასტური აპროქსიმაციის მისაღებად.
საგრანტო პროექტის ფარგლებში გამოიცა წიგნი- "Backward Stochastic Differential Equations and Bounded Mean Oscillation Martingales" - Lambert Academic Publishing, United States, 2014, B.Chikvinidze.
მიღებული შედეგები წარდგინდა 3 საერთაშორისო კონფერენციაზე და გამოქვეყნდა ამ კონფერენციების მასალებში. მიღებული შედეგების ნაწილი გამოქვეყნდა საერთაშორისო მაღალრეიტინგულ სამეცნიერო ჟურნალებში:
- 2013 Robust utility maximization for a diffusion market model with misspecified coefficients, Finance and Stochastics, Vol. 17, pp. 535–563, Springer, R. Tevzadze, T. Toronjadze and T. Uzunashvili;
- 2013 Upper Bounds for Bernstein Basis Functions, Prokhorov and Conterporary Probability Theory, Springer Series, Vol. 33, (2013), pp.293-303, Springer, V. Gupta and T. Shervashidze;
- 2014 New proofs of some results on bounded mean oscillation martingales using backward stochastic differential equations, Journal of Theoretical Probability,Vol. 27, N. 4, pp. 1213-1228, Springer, B. Chikvinidze and M. Mania,
